“它表明命题逻辑和一阶逻辑具有可靠性和完备性。”
“其中可靠性指可以被证明的一定为真，完备性指一切为真的命题都可以被证明。”
“简单来说就是，至少在有限的范围内，用公理和证明机制足以推导出所有普遍成立的命题。”
“但是一阶谓词逻辑是很弱的，它无法处理无限的概念。”
“最基本的一阶算术系统，用来描述自然数的皮亚诺公理就超出了这条定理的范围。”
“在涉及到实无穷的时候，不完备性出现了。”
哥德尔不完备定理有两条内容。
第一条，任何一致的形式系统，只要蕴含皮亚诺算术公理，就存在一个在系统中不能被证明的真命题。
如果一个命题为真，直觉上总是可以在系统内被证明出来，而不完备性定理否认了这一点。
第二条，任何一致的形式系统，只要蕴涵皮亚诺算术公理，就不能证明其本身的一致性。
也就是说，一个公理系统的自洽性是无法在自身体系内被证明的，必须依赖于更高阶的系统。
在皮亚诺算术公理定义的自然数系统中，古德斯坦定理就是这样一个例子。
它是一条有关于自然数的命题，但在定义这个命题的公理系统内部，却无法证明这个命题。
该定理可以在更高阶的系统下证明为真，但在皮亚诺算术系统内是不可证的。
连续统假设也是这样一个问题。
连续统问题追问的是实数子集的大小，其相关命题以实数子集为概括对象。
每个实数相当于一个自然数子集，连续统问题所谈论的对象就成了全体自然数子集所构成的集合的子集。
将直接概括自然数的算术称为一阶算术，以自然数子集或者实数为概括对象的算术为二阶算术。
那么连续统问题就属于三阶算术。
康托尔是在由戴德金分割定义的实数系中发现的连续统假设，但这个问题在实数模型内部却是不可判定的。
哥德尔形式证明了连续统假设的一般形式与ZFC公理是一致的。
如果把连续统假设作为公理加入集合论的这些公理中，不会产生任何逻辑矛盾。
科恩证明了一般的连续统假设的否定命题也可以加入ZFC中而不产生矛盾。
因此，连续统假设与标准的集合论公理是互相独立的。
它类似于平行公理相对于欧几里得几何的其他公理的地位，集合论的标准公理既不能证明也不能否定它。
根据连续统假设是否成立，可以像是欧几里得几何与非欧几何一样，构造出不同的集合论系统。
这就是康托尔失败的原因。
连续统假设的逻辑独立性就意味着它既不为真又不为假。
集合论中乱成一团的悖论和不可证性可以说是允许非构造的概念——尤其是实无穷，进入数学的自然后果。
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