· 该高斯过程的协方差结构 ? 由动力系统的拓扑熵和Lyapunov指数等基本不变量决定的某种“几何索引”。
3. 发展新的技术工具： 为了证明这些对应关系，他需要发展一套新的“算术微局部分析”（Arithmetic Micro-Local Analysis） 技巧，将经典的迹公式方法与处理随机过程极值理论的技术相结合，并克服由算术序列的准周期性带来的本质困难。
研究过程异常艰辛，远超前面三篇。
张诚首先需要精确地定义他所要对标的几个对象：L函数的零点序列（经过适当的归一化）、拉普拉斯算子的特征值序列、以及他想要引入的那个非平稳对数相关高斯场。然后，他需要提出明确的猜想，说明它们之间在统计意义上应该存在何种精确的等价关系。
构建这个框架本身就需要极高的洞察力。他花了大量时间查阅关于对数相关场极值统计的最新文献，以及关于动力系统刚性（如各态历经定理的速率、 decay of correlation 的速度）的深刻结果。他试图找到一个“契合点”，使得随机模型的参数能够由动力系统的几何不变量自然决定。
然而，他很快遇到了一个巨大的障碍：算术对象内在的“刚性”。与真正的随机序列不同，L函数的零点序列包含着由数论基本结构（如素数分布）决定的、长程的、非随机的关联。这种“长程秩序”严重干扰了直接应用标准随机过程极值理论的可能性。他最初的几个尝试性模型，在试图匹配数值模拟显示的零点间隙分布时，都出现了系统性偏差。
到了研究的第三天晚上，他再次陷入了僵局。白板上写满了失败的尝试和令人困惑的偏差公式。那种灵感枯竭的感觉愈发强烈。
在反复审视那些“偏差”时，张诚的三级视野发挥了关键作用。他没有仅仅将其视为模型的失败，而是开始思考，这些偏差本身是否揭示了某种更深层次的数学结构？
“如果这种偏差不是随机的错误，而是由某个未被考虑的‘算术贡献’项引起的呢？”他盯着一个复杂的积分表达式，脑海中飞速回溯着经典的Selberg迹公式。“迹公式本身就包含了一个来自小特征值的‘离散谱’贡献和一个来自 Eisenstein 级数的‘连续谱’贡献……如果我的随机模型只捕捉了‘连续谱’对应的‘拟随机’部分，那么这些偏差，是否恰恰对应了‘离散谱’所代表的‘例外对称性’？”
这个想法如同黑暗中划过的火炬！他意识到，不能简单地用一个纯粹的随机场去模拟零点。他需要一个混合模型：一个主导的、拟随机的高斯场（对应连续谱和大多数“通用”行为），加上一个小的、确定的、由离散谱数据决定的“修正项”（对应系统内在的算术刚性）！
这个“修正项”的构造，需要极其精细的分析。它必须能够捕捉到那些由系统特殊对称性（例如，Hecke算子的作用）导致的、在统计上表现为“异常”的零点聚集或排斥现象。
找到了正确的方向，剩下的就是无比繁复的技术工作。
1. 精确构造混合模型： 他需要基于Selberg迹公式的精细版本，将L函数的对数导数分解为“拟随机主部”和“算术修正部”。然后证明，主部在微观尺度下确实收敛于他所设计的非平稳对数相关高斯场。而修正部，则是一个由离散谱特征值及其对应特征函数（Maass形式）的傅里叶系数显式决定的、确定的振荡序列。
2. 证明统计等价性： 他需要证明，原零点序列的局部统计（如k-point correlation function），等于混合模型相应统计的极限。这涉及到对极其振荡的积分的渐进分析，以及控制各种误差项。他发展了新的方法来处理由算术序列长程关联带来的技术困难，其中用到了来自加性组合学中的一些工具来估计某些指数和的非平凡上界。
3. 验证与应用： 他需要验证他的理论预测与已知的数值模拟（对于某些具体的算术群）相符，并且能够解释一些之前观察到的、但无法理解的“异常”统计现象。例如，他的模型成功“预测”了在某些特殊算术群情况下，零点间距分布中会出现微小的、但确凿的“排斥峰”，这与该群存在额外的Hecke对称性直接相关。
这个过程消耗了大量的草稿纸和精神药剂。张诚几乎是不眠不休地奋战，大脑在极限状态下运转，处理着海量的计算和复杂的估计。
当最后一个，也是最关键的一个误差项被证明是足够小（o(1)）的时候，窗外已是第七天的黄昏。张诚靠在椅背上，感觉整个人都被掏空了。这篇论文的难度，尤其是中间遇到的巨大障碍和所需的跨领域技术整合，远超之前任何一篇。
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