一个念头如同闪电般划过脑海！
“为什么不直接使用导出几何中已有的‘形式光滑性’（formally smooth）和‘拟光滑性’（quasi-smooth）的概念，以及相关的 obstruction theory（障碍理论）来定义稳定性呢？”
在导出几何中，一个映射是“形式光滑”的，意味着它在无穷小形变上没有障碍。而对于一个几何对象（看作一个点 in the moduli stack）来说，其“稳定性”或许可以等价于其对应的映射在某种意义下是“非退化的”，或者说，其自身的无穷小形变理论是“良好控制的”，具体表现为其 obstruction 群在适当的度数是零维的！
这个想法让他豁然开朗！他不再去定义一个新的“导出线性化”，而是转而研究模空间 RM_g,n,β 中各个点（即几何对象）的局部障碍理论（local obstruction theory）。
新的方向确定后，剩下的就是艰巨的技术工作。他需要：
1. 精确描述 RM_g,n,β 在一点 [C, f] （C是曲线，f是映射）处的切复形（tangent plex），这是一个导出范畴中的对象，其 cohomology 分别给出了形变空间和障碍空间。
2. 定义一个全新的“导出稳定性”条件： 他提出，点 [C, f] 是“导出稳定”的，当且仅当其切复形在某个特定（负的）同调维度是平凡的（即障碍空间为零），并且其零阶同调（自同构）是有限的（这保证了分离性）。这个条件完全由导出范畴的内蕴性质定义，不依赖于任何外部线性化。
3. 证明这个新定义的“导出稳定”对象构成的子模空间，确实是一个（经典）光滑、紧的 Deligne-Mumford 叠（DM stack）。 这需要证明这个子模空间满足固有的（intrinsic）的既约性（properness）和分离性（separatedness）条件，并且是光滑的。
4. 证明这个新的“导出紧化”与经典的GIT紧化在稠密开集上是一致的，并且在边界处以一种更自然的方式添加了新的“导出稳定”对象，从而可能比经典紧化更优（例如，解决了某些经典紧化中存在的“多余分量”问题）。
这四步，每一步都充满了挑战。计算切复形需要精湛的同调代数技巧；证明新模空间的固有性质需要深刻的几何直觉和严格的论证；与经典理论的比较则需要搭建连接两种不同语言的桥梁。
张诚完全沉浸在了这种高度抽象的构建之中。他感觉自己在驾驭一股强大的、来自数学最深层次结构的力量。导出几何的语言虽然抽象，但一旦掌握，其表达力和穿透力是传统语言难以比拟的。他时而奋笔疾书，推导复杂的谱序列；时而凝神静思，构思一个关键的同伦交换图；时而在电脑上快速敲击 LaTeX 代码，输入那些复杂的范畴论符号和交换图。
精神药剂再次成为他维持这种高强度抽象思考的“燃料”。两支药剂在第四天和第五天被消耗掉，支撑着他跨越一个又一个理论沟壑。
终于，
当最后一个关键引理被证明，新的“导出紧化”空间的性质被彻底厘清时，一种巨大的满足感充盈在张诚心间。这不仅是一篇论文的完成，更是一次在思想前沿的成功探索。
论文标题最终定为：
《A Derived Stabilization Condition and Intrinsic Compactification for Moduli of Marked Curves》
（《标记曲线模空间的一个导出稳定性条件与内蕴紧化》）
在摘要和引言中，他清晰地阐述了工作的核心贡献：
1. 首次在导出代数几何框架下，为标记曲线模空间提出了一个完全内蕴的、不依赖于线性化选择的稳定性判定准则。 该准则基于切复形的同调性质，深刻揭示了稳定性的同调本质。
2. 利用该准则，成功构造了一个全新的、光滑的紧化模空间。 这个新紧化在理论上更优雅，并且在某些边界情形下，比经典GIT紧化具有更好的性质（例如，避免了非泛族（non-universal family）的存在）。
3. 建立了导出几何工具与经典模空间紧化问题的直接联系， 展示了导出几何不仅是一种语言上的革新，更是解决具体几何问题的有力武器。文中发展的通过障碍理论定义稳定性的方法，有望推广到其他模空间的研究中。
论文正文长达五十页，充满了各种 ∞-范畴的交换图、复杂的同调代数引理以及深刻的几何洞察。行文风格严谨而优雅，逻辑链条环环相扣，展现了他对导出几何这一前沿领域的深入理解和创造性运用。
当最后一个句号落下，张诚长长地吁了一口气。连续三篇论文，分别涉足几何分析、概率与几何的交叉、以及纯代数几何的前沿，这不仅展现了他恐怖的知识广度，更体现了他那在三级数学视野下，穿透不同领域表面、直抵问题核心的非凡能力。
他站起身，走到窗边。夜色依旧，但他的内心却如同经历了一场酣畅淋漓的远征。三座风格迥异的数学高峰已被征服，虽然疲惫感层层累积，但一种名为“自信”的力量，也在悄然滋长。
“三篇了……进度勉强跟上，但后面的难度只会更大，容错率更低。”他冷静地评估着。
没有太多时间沉浸在成功的喜悦中，他需要尽快恢复，迎接下一场，或许更为艰苦的战斗。燕园的夜空，星辰闪烁，默默记录着这间小小书房里，正在发生的，足以改变未来数学图景的奇迹。
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