第 136 章 等腰直角三角形之妙
自上次讲授相似三角形后，戴浩文在京师的学塾中，又迎来了新的一课。
这一日，戴浩文神色肃穆地立于讲台之上，目光扫过座下一众学子，缓声道：“诸位，前番我们探究了直角三角形与相似三角形之奥秘，今次，为师将引领尔等领略一种特殊的三角形——等腰直角三角形。”
学子们闻之，皆正襟危坐，眼神中充满了期待与好奇。
戴浩文转身，在黑板之上画出一个等腰直角三角形，笔触刚劲有力。“观此图形，等腰直角三角形，既有等腰三角形之特征，又具直角三角形之性质。”
他指着图形说道：“两腰相等，顶角为直角，此乃其基本形态。”
“先论其角，其一角为直角，余两角皆为四十五度。”戴浩文目光炯炯，“再言其边，设腰长为 a，由勾股定理可得，斜边之长为 √2 a 。”
为使学子们理解更为透彻，戴浩文给出实例：“若腰长为 5，斜边则为 5√2 。尔等可自行计算验证。”
学子们纷纷低头运算，不多时，便有学子得出答案，戴浩文微微点头，以示肯定。
“此性质于解题之中，用途甚广。”戴浩文又道，“若已知斜边之长，求腰长，亦能依此法则。”
他在黑板上写下一道例题：“一等腰直角三角形斜边为 10，求其腰长。”
一位学子起身答道：“先生，腰长应为 5√2 。”
戴浩文微笑道：“然也。”
接着，他话锋一转：“等腰直角三角形在实际应用中，亦颇为常见。”
“如木工造屋，欲制一等腰直角三角形之构架，已知所需斜边材料之长，便能算出腰长所需材料，从而精准取材。”戴浩文以手比划，形象地讲解着。
“又若丈量田地，遇等腰直角三角形之地块，知晓一边之长，即可知其面积。”
此时，一学子问道：“先生，如何求其面积？”
戴浩文回道：“等腰直角三角形面积，为腰长平方之半。”他在黑板上写下面积公式：S = 1/2 a2 。
戴浩文又列举数题，让学子们当场演练。只见学子们时而蹙眉沉思，时而奋笔疾书。
待学子们完成，戴浩文逐一批阅，指出其中错漏之处，耐心讲解。
“且看此题，”戴浩文指着一道错题，“此处计算有误，应重新审视勾股定理之运用。”
讲解完毕，戴浩文继续深入：“等腰直角三角形亦与三角函数紧密相连。”
他在黑板上写下三角函数的表达式：“sin45° = √2 / 2 ，cos45° = √2 / 2 ，tan45° = 1 。”
“诸位需牢记这些数值，于解题时方能信手拈来。”戴浩文目光坚定地看着学子们。
随后，戴浩文又抛出一个问题：“若一三角形，已知一角为 45 度，且两腰相等，如何证明其为等腰直角三角形？”
学子们陷入沉思，片刻后，有一学子起身回答：“先生，可先证其两腰相等，得等腰三角形，再证顶角为直角。”
戴浩文点头道：“思路甚佳。然具体如何证明顶角为直角？”
学子略作迟疑，继续答道：“可由三角形内角和为 180 度，已知一角为 45 度，且两底角相等，可得顶角为 90 度。”
戴浩文赞许道：“善。”
此时，日已西斜，屋内光线渐暗。
戴浩文却毫无停歇之意，继续道：“再看此例，已知等腰直角三角形一腰上的高为 3，求此三角形面积。”
学子们再度投入思考，纷纷提出各自见解。
戴浩文引导着学子们逐步分析，直至得出正确答案。
“今日所学，诸位回去需反复温习，明日为师将抽查。”戴浩文说道。
学子们齐声应诺，而后带着满满的收获，离开了学塾。
次日，戴浩文早早来到学塾。
他先检查了学子们的温习情况，见多数学子已掌握昨日所学，心中甚慰。但仍有少数学子存有疑惑，戴浩文便再次为其讲解。
“学问之道，在于勤思多练。”戴浩文鼓励着学子们。
接下来的几日，戴浩文不断深入讲解等腰直角三角形的知识，从其在几何证明中的巧妙运用，到与其他数学概念的综合考察。
“若一圆中，内接一等腰直角三角形，已知圆半径，如何求三角形边长？”戴浩文问道。
学子们纷纷画图思考，相互讨论。
一位学子率先答道：“先生，可先由圆半径得出圆心到三角形顶点距离，再利用等腰直角三角形性质求解。”
戴浩文微笑着点头：“甚是。”
时光匆匆，在戴浩文的悉心教导下，学子们对等腰直角三角形的理解日益深刻，解题能力也不断提高。
戴浩文决定对这段时间的学习进行一次考核。
考场上，学子们全神贯注，笔耕不辍。
考核结束，戴浩文认真批阅试卷，对学子们的表现心中有数。
待成绩公布，有学子欢喜，有学子忧愁。
戴浩文宽慰道：“一次考核，不足以定成败。无论成绩如何，皆应总结经验，继续前行。”
此后，戴浩文与学子们在数学的海洋中继续探索，向着更高深的知识迈进。
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