“所以第二种情况，左集A没有最大元素，右集B有最小元素。”
“这两种情况都没有发现数轴的缝隙，因此这些分割就对应所有的有理数。”
“除此之外的第三种情况，左集A没有最大元素，右集B也没有最小元素。”
“这就是有理数之间的缝隙，想要填补这个缝隙就需要无理数，也就是我们现在所在的这个世界。”
“用有理数进行分割，如果分割不产生空隙，那么它就是一个有理数；如果产生空隙，那么它就是一个无理数。”
“由此就从有理数扩展到了实数。”
说到这里，李恒又抬手在阿基里斯的肩膀上贴上了第四个小便签“戴德金分割”。
前三张便签纸上分别写着“一一对应、基数”，“有序排列、序数”、“排中律”的字样。
“再次回到之前解释过的0.9…=1的问题，用戴德金分割就能证明这一结论。”
“0.9…是一个十进制无穷小数，它和1是数轴上同一个点代表的数的不同写法。”
“所有的无限小数已经填满了整条实数轴，再也没有其他数字的位置。”
“与戴德金分割对实数的定义等价，康托尔用无穷序列来定义数轴上的数。”
“一个有理数的无穷序列，如果任意两个相邻项的差越趋于0，那么这个有理数序列就是一个实数。”
“康托尔将这称为一个基本序列。”
“任何有理数序列的收敛等同于它可表示为一个无穷的十进制小数。”
“这种定义下的系统是封闭的，也就是说，用有理数定义的实数去组成实数序列，得到的极限仍是实数。”
“1.00…和0.99…，这两个不同的基本序列极限是一样的，定义了数轴上的同一个实数。”
“也正是因此，类似于ω这样不是0也不是后继序数的超穷序数被称为极限序数。”
“它们本就来自于表示无理数的基本序列，源于微积分中的极限，没有最后一位的概念。”
“嗯，前置基础总算是说的差不多了。”
李恒抬手打了个响指，两人来到了一间幽暗老旧的精神病院外面。
“有了无缝的实数轴和实数的基本定义，接下来就可以开始研究连续统了。”
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